Exemples
Développer et factoriser
Développer :
\(4x^2(3x+2)\)\(= 12x^3+8x^2\)
Factoriser :
\(x^2+8x\)\(= x\times x+8\times x\)\(= x(x+8)\)
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1Somme et produit
Méthode : Reconnaître une somme ou un produit
C’est une somme (ou une différence) quand l’opération la moins prioritaire est l’addition (ou la soustraction). C’est un produit quand cette opération est la multiplication.
Autrement dit, on regarde l’opération qui serait effectuée en dernier si l’on respectait les priorités de calcul.
Somme : \(2x+7\)
L’opération la moins prioritaire est l’addition.
Produit : \(3(2x-5)\)
L’opération la moins prioritaire est la multiplication.
2Développer et factoriser
2.1Rappels
Rappels
- Développer, c’est transformer un produit de facteurs en une somme de termes.
- Factoriser, c’est transformer une somme de termes en un produit de facteurs.
Afin de développer ou factoriser des expressions, on utilise la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition :
développer
\(\textcolor{red}{k}(a+b)=\textcolor{red}{k}a+\textcolor{red}{k}b\)
factoriser
On rappelle aussi la double distributivité : \((a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\).
Exemple
Double distributivité
\((2-5x)(x-3)\)\(= 2x-6-5x^2+15x\)\(= -5x^2+17x-6\)
2.2Développer et réduire
Méthode : Développer et réduire une expression complexe
On utilise la simple ou la double distributivité pour développer chaque terme de l’expression en gardant les résultats entre parenthèses, puis on enlève les parenthèses en faisant attention aux signes « \(-\) » et on réduit.
Exemple
Développer et réduire
\(A=2x(1-x)-(2x+3)(1-2x)\)\(= (2x-2x^2)-(-4x^2-4x+3)\)\(= 2x-2x^2+4x^2+4x-3\)\(= 2x^2+6x-3\)
Automatisme : Développer et réduire
\(A=3x(2x-5)\)
\(A=3x\times 2x+3x\times(-5)=6x^2-15x\)
\(B=(x+4)(x-2)\)
\(B=x^2-2x+4x-8=x^2+2x-8\)
\(C=2x(3-x)-(x+1)(2x-3)\)
\(C=(6x-2x^2)-(2x^2-x-3)=6x-2x^2-2x^2+x+3=-4x^2+7x+3\)
2.3Factoriser
Méthode : Factoriser avec un facteur commun
On identifie un facteur commun dans tous les termes de la somme puis on utilise la simple distributivité dans le sens \(ka+kb=k(a+b)\).
Exemples
Factoriser avec un facteur commun
\(A=3(2+3x)-(5+2x)(2+3x)\)\(= (2+3x)\left[3-(5+2x)\right]\)\(= (2+3x)(3-5-2x)\)\(= (2+3x)(-2-2x)\)\(= -2(2+3x)(1+x)\)
\(B=6x^2-10x\)\(= 2x(3x-5)\)
\(C=3x+12\)\(= 3(x+4)\)
Automatisme : Factoriser
\(D=4x^2+6x\)
\(D=2x\times 2x+2x\times 3=2x(2x+3)\)
\(E=(x+2)(3x-1)-(x+2)(x+4)\)
\(E=(x+2)\left[(3x-1)-(x+4)\right]=(x+2)(3x-1-x-4)=(x+2)(2x-5)\)
\(F=5x^2-x\)
\(F=x\times 5x-x\times 1=x(5x-1)\)
3Identités remarquables
En plus de la différence de deux carrés vue au collège, on ajoute le carré d’une somme et le carré d’une différence :
Les trois identités remarquables
développer
\[
\begin{aligned}
(a+b)^2 &= a^2+2ab+b^2\\
(a-b)^2 &= a^2-2ab+b^2\\
(a+b)(a-b) &= a^2-b^2
\end{aligned}
\]
factoriser
\(2ab\) est le double produit de \(a\) par \(b\) (égal à \(2\times a\times b\)).
3.1Développer
Méthode : Développer en utilisant une identité remarquable
On identifie quelle identité intervient dans l’expression et on l’utilise dans le sens développer.
Exemples
Développer avec une identité
\(A=(x+3)^2\)\(= x^2+2\times x\times 3+3^2\)\(= x^2+6x+9\)
\(B=(2x-3)(2x+3)\)\(= (2x)^2-3^2\)\(= 4x^2-9\)
\(C=(4-3x)^2\)\(= 4^2-2\times 4\times 3x+(3x)^2\)\(= 16-24x+9x^2\)
Automatisme : Développer avec une identité
\(A=(3x-2)^2\)
\(A=(3x)^2-2\times 3x\times 2+2^2=9x^2-12x+4\)
\(B=(5x+2)^2\)
\(B=(5x)^2+2\times 5x\times 2+2^2=25x^2+20x+4\)
\(C=(2x+7)(2x-7)\)
\(C=(2x)^2-7^2=4x^2-49\)
3.2Factoriser
Méthode : Factoriser en utilisant une identité remarquable
On identifie quelle identité intervient dans l’expression et on l’utilise dans le sens factoriser.
Exemples
Factoriser avec une identité
\(A=49x^2-4\)\(= (7x)^2-2^2\)\(= (7x-2)(7x+2)\)
\(B=x^2+2x+1\)\(= x^2+2\times x\times 1+1^2\)\(= (x+1)^2\)
\(C=4x^2-12x+9\)\(= (2x)^2-2\times 2x\times 3+3^2\)\(= (2x-3)^2\)
Automatisme : Factoriser avec une identité
\(D=16x^2-81\)
\(D=16x^2-81=(4x)^2-9^2=(4x-9)(4x+9)\)
\(E=x^2+10x+25\)
\(E=x^2+2\times x\times 5+5^2=(x+5)^2\)
\(F=9x^2-6x+1\)
\(F=(3x)^2-2\times 3x\times 1+1^2=(3x-1)^2\)
4Équations du premier degré
Équations en général
- Une équation est une égalité dans laquelle figure une ou plusieurs inconnues.
- Résoudre une équation, c’est trouver la ou les valeurs des inconnues telles que l’égalité soit vraie (les solutions de l’équation).
Pour transformer une égalité en une égalité équivalente, on peut additionner ou soustraire le même nombre, multiplier ou diviser par le même nombre différent de zéro les deux membres.
Méthode : Un nombre est-il solution d’une équation ?
On remplace l’inconnue par le nombre et, en calculant séparément les deux membres, on vérifie s’il y a égalité ou non.
Exemple
Vérifier une solution
Vérifier si les nombres \(3\) et \(5\) sont solutions de l’équation \(x^2-1=2(x+1)\).
Pour \(x=3\), on calcule séparément les deux membres.
\(x^2-1=3^2-1=8\)
\(2(x+1)=2(3+1)=8\)
Les deux membres sont égaux : \(3\) est solution de l’équation.
Pour \(x=5\), on recommence.
\(x^2-1=5^2-1=24\)
\(2(x+1)=2(5+1)=12\)
\(24\neq 12\) : \(5\) n’est pas solution.
Équation du premier degré
C’est une équation qui peut s’écrire sous la forme \(ax+b=cx+d\) si \(x\) est l’inconnue.
On la résout par égalités équivalentes jusqu’à isoler \(x\).
Méthode : Résoudre une équation du premier degré dans le cas général
- Si nécessaire, on réduit les deux membres pour se ramener à \(ax+b=cx+d\).
- On regroupe les \(x\) dans un membre et les nombres seuls dans l’autre (égalités équivalentes).
- On isole \(x\) pour arriver à \(x=\text{nombre}\).
Exemple
Résoudre \(2x+5=-4x+15\)
\(2x+5=-4x+15\)\(2x+5+4x=-4x+15+4x\)\(6x+5=15\)\(6x+5-5=15-5\)\(6x=10\)\(\dfrac{6x}{6}=\dfrac{10}{6}\)\(x=\dfrac{5}{3}\)
Donc \(S=\left\{\dfrac{5}{3}\right\}\).
Automatisme : Résoudre des équations du premier degré
\(A : 3x+5=20\)
\(3x=15\), donc \(x=5\).
\(S=\{5\}\).
\(B : -2x+7=1\)
\(-2x=-6\), donc \(x=3\).
\(S=\{3\}\).
\(C : 5x-7=3x+9\)
\(2x=16\), donc \(x=8\).
\(S=\{8\}\).
\(D : 5x-2=3x+1\)
\(2x=3\), donc \(x=\dfrac{3}{2}\).
\(S=\left\{\dfrac{3}{2}\right\}\).
Résoudre l’équation \(2(x-3)=5x+6\).
Indice : développer le membre de gauche : \(2(x-3)=2x-6\).
\(2x-6=5x+6\), donc \(-3x=12\), donc \(x=-4\).
\(S=\{-4\}\).
5Équation produit nul
Définition
Une équation produit nul est une équation de la forme
\[\underbrace{A(x)\times B(x)}_{\text{Produit de 2 facteurs}}=\underbrace{0}_{\text{Nul}}\]
Par exemple, l’équation \((5x-9)(x+6)=0\) est une équation produit nul.
Propriété
Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins l’un des facteurs est égal à \(0\).
Autrement dit, \(A\times B=0\) si et seulement si \(A=0\) ou \(B=0\).
Méthode : Résoudre une équation se ramenant à un produit nul
- On rend un des deux membres égal à zéro.
- On factorise le second membre pour se ramener à un produit nul.
- On résout l’équation produit nul.
Exemple
Résoudre \(3x^2=12x\)
\(3x^2=12x\)\(3x^2-12x=0\)\(3x(x-4)=0\)\(3x=0\quad\text{ou}\quad x-4=0\)\(x=0\quad\text{ou}\quad x=4\)
Donc \(S=\{0\,;4\}\).
Automatisme : Résoudre une équation produit nul
\(A : (2x-1)(x+4)=0\)
\(2x-1=0\) ou \(x+4=0\), donc \(x=\dfrac{1}{2}\) ou \(x=-4\).
\(S=\left\{-4\,;\dfrac{1}{2}\right\}\).
\(B : x^2-7x=0\)
\(x(x-7)=0\), donc \(x=0\) ou \(x=7\).
\(S=\{0\,;7\}\).
\(C : 4x=6x^2\)
\(4x-6x^2=0\), donc \(2x(2-3x)=0\), donc \(x=0\) ou \(x=\dfrac{2}{3}\).
\(S=\left\{0\,;\dfrac{2}{3}\right\}\).
6Équation de la forme \(x^2=k\)
Équation \(x^2=k\)
Pour \(k\) un nombre réel, l’équation \(x^2=k\) admet :
- si \(k>0\), deux solutions : \(x=-\sqrt{k}\) ou \(x=\sqrt{k}\) ;
- si \(k=0\), une seule solution : \(x=0\) ;
- si \(k<0\), aucune solution.
Par exemple, \(x^2=16\) donne \(x=-4\) ou \(x=4\), donc \(S=\{-4\,;4\}\).
Méthode : Résoudre une équation de la forme \(x^2=k\)
On isole \(x^2\) si nécessaire, puis on applique la règle précédente en faisant attention au signe de \(k\).
Exemples
Résoudre \(x^2=k\)
\(x^2=7\)\(x=-\sqrt{7}\quad\text{ou}\quad x=\sqrt{7}\)
Donc \(S=\{-\sqrt{7}\,;\sqrt{7}\}\).
\(x^2=-4\)
Un carré ne peut pas être négatif : pas de solution réelle.
\(S=\varnothing\).
\(2x^2=18\)\(x^2=9\)\(x=-3\quad\text{ou}\quad x=3\)
Donc \(S=\{-3\,;3\}\).
Automatisme : Résoudre une équation \(x^2=k\)
\(A : x^2=49\)
\(x^2=49\), donc \(x=-7\) ou \(x=7\).
\(S=\{-7\,;7\}\).
\(B : x^2+9=0\)
\(x^2+9=0\), donc \(x^2=-9\). Un carré est toujours positif ou nul : pas de solution réelle.
\(S=\varnothing\).
\(C : 3x^2+1=76\)
\(3x^2+1=76\), donc \(3x^2=75\), donc \(x^2=25\), donc \(x=-5\) ou \(x=5\).
\(S=\{-5\,;5\}\).
\(D : 11=x^2\)
\(11=x^2\), donc \(x=-\sqrt{11}\) ou \(x=\sqrt{11}\).
\(S=\left\{-\sqrt{11}\,;\sqrt{11}\right\}\).
7Résoudre un problème à l’aide d’une équation
Méthode : Mettre un problème en équation
- On pose l’inconnue (en général le nombre que l’on cherche) et on la nomme.
- On traduit l’énoncé en une égalité dont un ou les deux membres s’écrivent en fonction de l’inconnue (mise en équation).
- On résout l’équation obtenue.
- On conclut.
Exemple
Problème de la note
En ajoutant \(4\) au triple de ma note en mathématiques, on obtient \(40\). Quelle est ma note ?
On note \(x\) la note cherchée.
Le triple de cette note est \(3x\).
\(3x+4=40\)\(3x=36\)\(x=12\)
La note est donc \(12\).
En soustrayant \(5\) au double d’un nombre, on obtient \(17\). Quel est ce nombre ?
Indice : on note \(x\) le nombre cherché. Son double est \(2x\) ; on lui soustrait \(5\).
\(2x-5=17\), donc \(2x=22\), donc \(x=11\). Le nombre cherché est \(11\).
8Écriture fractionnaire
Écriture fractionnaire
Une écriture fractionnaire est de la forme \(\dfrac{A(x)}{B(x)}\), où \(A(x)\) et \(B(x)\) sont des expressions algébriques et \(B(x)\neq 0\).
Les valeurs de \(x\) qui annulent le dénominateur sont appelées les valeurs interdites.
Par exemple, l’écriture \(\dfrac{2x+1}{x-3}\) est définie pour \(x\neq 3\).
Automatisme : Déterminer une valeur interdite
\(A : \dfrac{5}{x+1}\)
Le dénominateur s’annule pour \(x=-1\). La valeur interdite est \(-1\).
\(B : \dfrac{2x}{x-3}\)
Le dénominateur s’annule pour \(x=3\). La valeur interdite est \(3\).
\(C : \dfrac{3x}{2x+5}\)
Le dénominateur s’annule pour \(x=-\dfrac{5}{2}\). La valeur interdite est \(-\dfrac{5}{2}\).
Opérations en écriture fractionnaire
Ce sont les mêmes règles de calcul qu’avec les fractions.
Pour \(x\neq 0\) :
\[
\frac{1}{3}+\frac{2}{x}
=\frac{1\times x}{3\times x}+\frac{2\times 3}{x\times 3}
=\frac{x}{3x}+\frac{6}{3x}
=\frac{x+6}{3x}
\]
Réduire au même dénominateur : \(\dfrac{3x}{x+2}-\dfrac{4x}{x-5}\).
Pour \(x\neq -2\) et \(x\neq 5\).
Indice : prendre comme dénominateur commun \((x+2)(x-5)\).
\(\dfrac{3x}{x+2}-\dfrac{4x}{x-5}=\dfrac{3x(x-5)-4x(x+2)}{(x+2)(x-5)}=\dfrac{3x^2-15x-4x^2-8x}{(x+2)(x-5)}=\dfrac{-x^2-23x}{(x+2)(x-5)}\).