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Dans une fraction, lorsque le numérateur et le dénominateur ont un facteur en commun alors on peut simplifier par ce facteur :
\(\dfrac{231}{105}\)\(= \dfrac{21\times 11}{5\times 21}\)\(= \dfrac{11}{5}\)
On ne peut pas simplifier plus, on dit que la fraction \(\dfrac{11}{5}\) est irréductible.
\(\dfrac{3}{2} + \dfrac{7}{2}\)\(= \dfrac{10}{2}\)\(= 5\)
\(\dfrac{5}{4} + \dfrac{1}{6}\)\(= \dfrac{15}{12} + \dfrac{2}{12}\)\(= \dfrac{17}{12}\)
On multiplie ensemble les deux numérateurs et ensemble les deux dénominateurs en essayant de simplifier les fractions AVANT de multiplier.
\(\dfrac{15}{7} \times \dfrac{14}{25}\)\(= \dfrac{15\times 14}{7\times 25}\)\(= \dfrac{5 \times 3 \times 2 \times 7}{7 \times 5 \times 5}\)\(= \dfrac{\cancel{5} \times 3 \times 2 \times \cancel{7}}{\cancel{7} \times \cancel{5} \times 5}\)\(= \dfrac{6}{5}\)
\(3 \times \dfrac{7}{2}\)\(= \dfrac{21}{2}\)
Diviser par un nombre non-nul, c’est multiplier par son inverse :
L’inverse de \(a\) est \(\dfrac{1}{a}\) et l’inverse de \(\dfrac{a}{b}\) est \(\dfrac{b}{a}\).
\(\dfrac{15}{7} \div \dfrac{25}{14}\)\(= \dfrac{15}{7} \times \dfrac{14}{25}\)\(= \dfrac{5\times 3\times 2\times 7}{7\times 5\times 5}\)\(= \dfrac{\cancel{5} \times 3 \times 2 \times \cancel{7}}{\cancel{7} \times \cancel{5} \times 5}\)\(= \dfrac{6}{5}\)
\(A = \dfrac{7}{5} + \dfrac{9}{2}\)
\(A = \dfrac{14}{10} + \dfrac{45}{10} = \dfrac{59}{10}\)
\(B = \dfrac{18}{7} \div \dfrac{9}{21}\)
\(B = \dfrac{18}{7} \times \dfrac{21}{9} = \dfrac{18\times 21}{7\times 9} = 6\)
\(C = \dfrac{7}{3} \times \dfrac{9}{28} \times \dfrac{6}{5}\)
\(C = \dfrac{7\times 9\times 6}{3\times 28\times 5} = \dfrac{9}{10}\)
\(D = 6 + \dfrac{1}{5} - \dfrac{7}{10}\)
\(D = \dfrac{60}{10} + \dfrac{2}{10} - \dfrac{7}{10} = \dfrac{55}{10} = \dfrac{11}{2}\)
\(E = \dfrac{5}{\dfrac{10}{7}}\)
\(E = 5 \times \dfrac{7}{10} = \dfrac{35}{10} = \dfrac{7}{2}\)
Soit \(n\) un nombre entier naturel, alors \(a^n = a \times a \times \dots \times a\) avec \(n\) facteurs égaux à \(a\).
On a \(a^0 = 1\) et \(a^1 = a\).
Exemple \(5^6 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5\)Pour tous nombres réels \(a\) et \(b\) et pour tous nombres entiers \(m\) et \(n\) :
\(a^m \times a^n = a^{m+n}\)
\(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\)
\(\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)
\((a \times b)^n = a^n \times b^n\)
\((a^m)^n = a^{m \times n}\)
Si \(b \neq 0\), \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}\)
\(A = 10^3 \times 10^9 \times 10^{-6}\)
\(A = 10^{3+9-6} = 10^6\)
\(B = (2^7)^2 \times 2^9\)
\(B = 2^{14} \times 2^9 = 2^{23}\)
\(C = \dfrac{7^{15}}{7^6}\)
\(C = 7^{15-6} = 7^9\)
\(D = 12^7 \times 4^7\)
\(D = (12 \times 4)^7 = 48^7\)
\(10^n = 100\ldots00\) avec \(n\) zéros.
\(10^{-n} = 0{,}00\ldots01\) avec \(n\) chiffres après la virgule.
L’écriture scientifique d’un nombre décimal positif non nul est de la forme \(a \times 10^n\) où \(n\) est un nombre entier relatif et \(a\) un nombre décimal tel que \(1 \leqslant a < 10\).
\(7\ 540\ 000\)\(= 7{,}54 \times 10^6\)
\(0{,}000\ 76\)\(= 7{,}6 \times 10^{-4}\)
La racine carrée d’un nombre réel positif \(a\) est le nombre positif dont le carré est égal à \(a\).
On le note \(\sqrt{a}\) et on a donc \(\left(\sqrt{a}\right)^2 = a\). Le symbole \(\sqrt{\phantom{a}}\) est appelé le radical.
Quelle est la racine carrée de \(9\) ?
Les nombres \(3\) et \(-3\) pourraient convenir, car \(3^2 = 9\) et \((-3)^2 = 9\).
Mais puisque la racine carrée est toujours un nombre positif, seul le premier nombre convient : \(\sqrt{9} = 3\) car \(3^2 = 9\) et \(3 \geqslant 0\).
Les nombres dont la racine carrée est un entier sont les carrés parfaits. Il est utile de connaître les premiers :
En général on ne peut écrire que des valeurs approchées des racines carrées sous forme décimale. Ainsi : \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\) et \(\sqrt{3} \approx 1{,}732\).
Pour tous nombres réels positifs \(a\) et \(b\) :
\(\sqrt{3} \times \sqrt{12}\)\(= \sqrt{3 \times 12}\)\(= \sqrt{36}\)\(= 6\)
\(\dfrac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}\)\(= \sqrt{\dfrac{48}{3}}\)\(= \sqrt{16}\)\(= 4\)
Il faut chercher le plus grand carré parfait qui soit un diviseur du nombre sous le radical puis utiliser la première propriété sur les produits :
\(\sqrt{63}\)\(= \sqrt{9 \times 7}\)\(= \sqrt{9} \times \sqrt{7}\)\(= \sqrt{3^2} \times \sqrt{7}\)\(= 3\sqrt{7}\)
Écrire \(\sqrt{72}\) sous la forme \(a\sqrt{b}\) avec \(a\) et \(b\) entiers et \(b\) le plus petit possible.
Indice : chercher le plus grand carré parfait qui divise \(72\). Ici, \(72 = 36 \times 2\).
\(\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2}\)